Por su simplicidad, versatilidad, resistencia y economía, los cables se
han convertido en un elemento imprescindible en muchas obras de
ingeniería. Pensemos en los puentes colgantes, no solo los grandes
sino también los pequeños construidos para comunicar veredas en zonas rurales,
las garruchas, los sistemas de transporte de productos agrícolas en los
cultivos, los sistemas de interconexión eléctrica, los cables
para pos-tensado en una obra de hormigón, los tensores o
contravientos para luminarias y postes, pagodas o techos, etc.
Por su flexibilidad, los cables solo aguantan fuerzas de tracción. En el
caso de un cable, la geometría que él adquiere al aplicar las cargas, es tal,
que asegura el cumplimiento de las leyes de equilibrio con el solo trabajo a
tracción del elemento.
El tipo de geometría que adquiere un cable depende del tipo de cargas
actuantes. Para cables sometidos a cargas uniformes en la proyección
horizontal, adquieren una forma parabólica siguiendo la forma del diagrama de
momentos de una viga simple; cables sometidos a cargas puntuales adquieren una
forma discontinua en cada punto de aplicación de las cargas y cables sometidos
a su propio peso (en este caso no es una carga uniforme) forman una curva
llamada catenaria. Un ejemplo de este último caso es el de las redes de
energía. En el caso de que la flecha del cable (distancia vertical desde los
extremos hasta el punto mas bajo) no sea muy grande, esta catenaria se puede
aproximar a una parábola.
Para el análisis se consideran totalmente flexibles e inextensibles de tal
manera que en toda su longitud los esfuerzos solo serán axiales de tracción y
siempre tangenciales a la curva del cable.
La forma de la catenaria se puede suponer parabólica siempre
y cuando flecha/longitud sea pequeña. Se justifica hacer un estudio de la flecha en
función de la longitud cuando un cable está sometido a carga uniforme en
proyección horizontal y compararla con la flecha para peso propio para poder
sacar un límite en esta relación.
En el análisis de fuerzas de tales sistemas, el peso del cable puede ser
ignorado por ser a menudo pequeño comparado con la carga que lleva. Por otra
parte, cuando los cables se usan como líneas de transmisión y retenidas para
antenas de radio y grúas, el peso del cable puede llegar a ser importante y
debe ser incluido en el análisis estructural. En el análisis que se presenta en
seguida serna considerados tres casos:
- Un cable sometido a cargas concentradas.
- Un cable sometido a una carga distribuida.
- Un cable sometido a un propio peso.
Independientemente de qué condiciones de
cargas estén presentes, siempre que la carga sea coplanar con el cable, los
requisitos de equilibrio son formulados de manera idéntica.
Al derivar las relaciones necesarias entre la fuerza en el cable y su
pendiente, Formularemos la hipótesis de que el cable es perfectamente flexible
e inextensible. Debido a su flexibilidad, en el cable no ofrece resistencia a
la flexión, y por tanto, la fuerza de tensión que actúa en el es siempre
tangente en puntos localizados a lo largo de su longitud
Por ser inextensible, el cable tiene una longitud constante antes y
después de aplicarse la carga. Como resultado, una vez aplicada la carga, la
geometría del cable permanece fija, y el cable o segmento de él pueden ser
tratados como un cuerpo rígido.
Cuando un cable de peso insignificante soporta varias cargas
concentradas, toma la forma de varios segmentos de línea recta, cada uno de los
cuales está sometido a una fuerza de tensión constante.
Consideremos un cable sujeto a dos puntos fijos A y B, que
soportan “n” cargas concentradas ,como se muestra a continuación.
Suponemos que el cable es flexible, es decir, que su resistencia a la
flexión es pequeña y puede despreciarse. Además, suponemos que el peso del
cable es despreciable comparado con las cargas soportadas por él. En
consecuencia, cualquier porción de cable entre dos cargas sucesivas puede
considerarse como un elemento sometido a la acción de dos fuerzas; las fuerzas
internas en cualquier punto del cable se reducen a una fuerza de tensión
dirigida a lo largo del cable.
Ahora suponemos que cada una de las cargas actúa a lo largo de una línea
vertical dada, es decir, se conoce la distancia horizontal del soporte A, a
cada una de las cargas; también que se conocen las distancias horizontal y
vertical entre los soportes. Nos proponemos determinar la forma del cable, o
sea, la distancia vertical de A, a cada punto , y también la tensión en cada
porción del cable.
Hacemos el diagrama de cuerpo libre de todo el cable.
Aplicando las ecuaciones de equilibrio.
Como no se conocen las pendientes de las porciones de cable que se
sujetan a A y B, cada una de las reacciones en A y B debe representarse por dos
componentes. Por tanto, tenemos cuatro incógnitas y las tres ecuaciones de
equilibrio no son suficientes para calcular las reacciones en A y B. En
consecuencia, debemos plantear una ecuación adicional considerando el
equilibrio de una porción del cable. Esto es posible si conocemos la coordenada
X y Y de un punto D del cable.
Haciendo el diagrama de cuerpo libre de la porción AD del cable.
Aplicando las ecuaciones de equilibrio.
De esta forma obtenemos una relación adicional que simultaneada con la
ecuación (1) se pueden obtener las componentes rectangulares de la reacción en
A y, así aplicando las otras dos ecuaciones de equilibrio en el primer diagrama
se obtienen las componentes rectangulares de la reacción en B.
Sin embargo el problema seguirá siendo indeterminado si no conocemos las
coordenadas del punto D, o si no se especifica alguna otra relación entre AX y
AY (o entre BX y BY). El cable pudiera colgar de varias maneras posibles, como
se indica por las líneas de trazos discontinuos. Cuando AX y AY han sido
calculadas, las distancia vertical de A a cualquier punto del cable puede
encontrarse fácilmente. Por ejemplo, considerando el punto C2.
Haciendo el diagrama de cuerpo libre de la porción A C2.
Aplicando las ecuaciones de equilibrio:
De donde puede obtener el valor de Y2.
Con las ecuaciones:
Obtenemos las componentes de fuerza T que representa la tensión en la
porción de cable situado a la derecha del punto C2. Observamos que Tcos =
-AX; la componente horizontal de la tensión T es la misma en
cualquier punto del cable.
Por tanto la tensión T es máxima cuando cos q
es mínimo, es decir, en la porción del cable que tiene el máximo ángulo de
inclinación que evidentemente, esta porción de cable debe ser adyacente a
uno de los dos soportes del cable.
Por su flexibilidad, los cables cambian su forma de acuerdo a las cargas
a las que está sometida y pueden dividirse en dos categorías: Cables que
sostienen cargas distribuidas y Cables que soportan cargas concentradas para
este último.
Un cable no constituye una estructura auto portante a menos de contar
con medios y procedimientos para absorber su empuje. Por su simplicidad,
versatilidad, resistencia y economía, los cables se han convertido en un
elemento imprescindible en muchas obras de ingeniería. Los cables son
ampliamente utilizados por sus características particulares de peso,
resistencia y flexibilidad, en realidad los cables no son perfectamente
flexibles, ya que ofrecen resistencia a ser doblados, pero esta fuerza es tan
pequeña en comparación con la fuerza que pueden resistir que pueden
despreciarse y las cargas concentradas son aquellas que tienen un solo punto de
aplicación.
Cables con Cargas Distribuidas.
Considérese un cable que está unido a dos puntos fijos A y B y que
soporta una carga distribuida. En la sección anterior se vio que, para un cable
que soporta cargas concentradas, la fuerza interna en cualquier punto es una
fuerza de tensión dirigida a lo largo del cable. En el caso de un cable que
soporte una carga distribuida, éste cuelga tomando la forma de una curva y la
fuerza interna en un punto D es una fuerza de tensión T dirigida a lo largo de
la tangente de la curva. En esta sección, se aprenderá a determinar la tensión
en cualquier punto de un cable que soporta una carga distribuida dada.
Cables con Cargas Concentradas.
Los cables se utilizan en muchas aplicaciones ingenieriles, tales como
puentes colgantes, líneas de transmisión, teleféricos, contravientos para
torres altas, entre otros. Los cables pueden dividirse en dos categorías de
acuerdo con las cargas que actúan sobre estos.
Considérese un cable unido a dos puntos fijos A y B y que soportan
cargas concentradas verticales P1, P2…….Pn. se supone que el cable es flexible,
esto es que su resistencia a la reflexión es pequeña y puede despreciarse.
Además, también se supone que el peso del cable es susceptible de ser ignorado
en comparación con las cargas que soporta
Por lo tanto, cualquier porción del cable entre dos cargas consecutivas
se puede considerar como un elemento sometido a la acción de dos fuerzas y, por
consiguiente, las fuerzas internas en cualquier punto del cable se reducen a
una fuerza de tensión dirigida a lo largo del cable.
Se supone que cada una de las cargas se encuentran en una línea vertical
dada, esto es, que la distancia horizontal desde el apoyo A hasta cada una de
las cargas es conocida; además, también se supone que las distancias horizontal
y vertical entre los apoyos son conocidas.
Cables
Sometidos a Cargas Uniformemente Distribuidas en la Proyección Horizontal.
Se
considera que el peso produce una carga uniformemente distribuida en la
proyección horizontal, caso de cables cuya relación flecha/longitud es pequeña.
Cables
Parabólicos.
Cuando
un hilo está sometido a una carga uniforme por unidad de proyección horizontal,
dicho hilo adquiere la forma de una parábola si se desprecia su peso propio
respecto al de la carga que debe soportar. Este caso se presenta, en la
práctica, en el cálculo de puentes colgantes, en los que el peso del tablero es
mucho mayor que el del cable que lo sustenta.
El tablero, o base del puente colgante, lo podemos representar por una
carga vertical, p (N/m), uniformemente distribuida a lo largo de la
proyección horizontal del cable. La transmisión de carga del tablero al cable
se realiza mediante unos cables verticales denominados tirantes, también de
peso despreciable frente al del tablero.
Cables en Forma de Catenaria.
Llamando wpp la carga por unidad de longitud (medida a lo largo del
cable), encontramos que la magnitud W de la carga total soportada por una
porción de cable de longitud s medida desde el punto más bajo a un punto a lo
largo del cable es W = ws.
Cables Sometidos a Cargas Concentradas
Para determinar la tensión en cada tramo se empieza por determinar las reacciones. Estas comprenden cuatro incógnitas lo cual hace que el sistema sea estáticamente indeterminado.
Para poder obviar esta indeterminación es necesario conocer la posición
de un punto del cable. Supongamos que se conoce la posición de la carga P2 con
coordenadas (x2, y2).
Lo cual indica que la componente horizontal de la tensión en cualquier
tramo es constante.
Se toman los momentos con respecto al punto B se obtiene una relación
entre Ax y Ay. Luego, tomamos los momentos con respecto al punto D se obtiene
otra relación entre Ax y Ay que con la anterior se pueden resolver
simultáneamente para determinar Ax y Ay.
Una vez determinadas las reacciones en A se obtiene By, y como Bx = -Ax
quedan completamente las reacciones. Habiéndose determinado las reacciones se
puede tomar cualquier porción del cable para hallar la tensión correspondiente.
Puedes aprender mas aquí:
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